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一、定义
1.1 堆
此处的堆，指数据结构中的堆。而不是内存中的那种内存堆，内存堆是基于数据结构的一种实现。堆的数据结构是一棵完全二叉树，它有如下特点：（具体参考下文链接）
- 堆是一棵完全二叉树
- 它总是最小值在根节点（或最大值在根节点）
- 它上一层比下一层小（大）
- 必定有快速删除根节点，并返回根节点元素的方法
- 在删除根节点（最小元或者最大元）之后，自动调节使之依然保持堆结构。
- 插入节点依然保持堆结构
综上，堆结构的基本操作是插入和删除根节点，在操作过程中还会保持堆结构不会被破坏。所以我们可以用堆排序，我们可以通过删除根节点得到最小值，再删除根节点，得到第二小值，如此类推，只要一直取根节点，就能得到从小到大的序列。
堆的数据结构：
1.2 堆排序
对一个含有N个元素的数组a，我们利用堆排序的做法：
- 首先建立一个二叉堆（最小元在根节点）。根据二叉堆的特性，此过程运行时间\(O(N)\)。
- 然后执行\(N\)次删除最小元（deleteMin）操作，按照顺序，最小的元素先离开堆。
- 将这些元素记录到第二个数组中，得到一个排序之后的数组（可避免使用第二个数组）。
- 再将这些数组拷贝回来，得到\(N\)个元素的排序。
图解：
图解描述
我们对数组a进行堆排序，采用根节点存放最大值（最大最小都一样）并且避免使用第二个数组。
- 构建一个Max堆，最大值在根节点，父节点必定比子节点大。
- deleteMax，堆缩小1。
- 将刚刚删除的元素放在空出来的位置。
- 依次类推，我们借助二叉堆一个重要的特性：删除时，总是空出最后一个元素。这是为了保持它是一个完全二叉树。
以上做法，我们避免使用第二个数组，而是直接在第一个数组中构建一个堆。然后将堆排序！
二、算法分析
堆排序耗费的时间可以分为2个部分。第一阶段构建堆，第二阶段是循环删除根元素(deleteMax)。
第一阶段：从堆的性质我们可以知道，构建N个元素的堆，需要2N次比较。（这是因为堆的性质是父节点大于子节点，所以要选出父节点，需要根左右子节点相互比较）
第二阶段：循环deleteMax。第\(i\)次deleteMax最多用到\(2\lfloor logi \rfloor\)次比较，这个时间来自于堆的deleteMax时间分析，删除最大值之后，我们需要重新构建堆，那么就需要最后一个位置放入根节点所在的空穴（根节点作为最大值已经被删除，只剩下空穴一个）中，然后采用下沉的方式，将它放到合适的位置，重新构建堆只需要满足父节点大于子节点，所以下沉过程只需要根左子节点和右子节点比较，而二叉树的高是\(logN\)。
所以总时间是:
\[ 第二阶段+第一阶段时间 \\ 2(\sum_{i=1}^{N}logi )+2N\\ =2(log1+log2+···+logN)+2N\\ =2(log(1*2*3*···*N))+2N\\ =2(logN!)+2N\\ =2(log(\sqrt{2\pi N}\frac{N^N}{e^N})+2N\\ =2(\frac{1}{2}log(2\pi)+\frac{1}{2}logN + NlogN -Nloge)+2N \\ =O(2NlogN-O(N)) \]关于堆的构建和删除可以参照：
堆排序的时间是：\(O(2NlogN-O(N))\)